线代笔记
U1
1.5
对于 $\sigma:X\to Y$：
单射：$\alpha_1,\alpha_2\in X,\alpha_1\not=\alpha_2$，则 $\sigma(\alpha_1)\not=\sigma(\alpha_2)$
满射：$\forall\beta\in Y,\exists\sigma(\alpha)=\beta$
双射：又单又满
恒等映射 / 单位映射：$I(\alpha)=\alpha$
- $I_Y\sigma=\sigma I_X=\sigma$
可逆映射：$\exists\tau$ 使得 $\tau\sigma=I_X,\sigma\tau=I_Y$。此时 $\tau$ 为 $\sigma$ 的（唯一）逆映射。
- $\sigma$ 可逆的充要条件是双射
1.7
内积 / 点积 / 数量积：$a\cdot b=|a||b|\cos\theta$
外积 / 叉积 / 向量积：$a\times b=|a||b|\sin\theta$
- 右手法则：四指由 $a$ 到 $b$ 时大拇指的朝向（即叉积的方向）
1.10
代数系统：$<X:f_1,f_2,…,f_k>$
- 其中 $X$ 是非空集，$f$ 是代数运算
下面的群、环、域都属于代数系统
群：$<G:\circ>$ 满足
$a\circ(b\circ c)=(a\circ b) \circ c$（结合律）
$\exists \space a\circ e = e \circ a = a$（存在单位元）
$\forall a \in G, \exists b \in G,a \circ b = b \circ a = e$（都可逆）
- 若满足交换律，即称交换群，又称 $Abel$ 群。
半群：只满足结合律
含幺半群：满足结合律，有单位元（即只不可逆）
环：$<R:+,\circ>$ 满足
$<R:+>$ 是交换群
$<R:\circ>$ 是半群（结合律）
运算 $\circ$（通常为乘法）对 $+$ 满足分配率，即 $a\circ (b+c)=a\circ b+a\circ c$
- 若 $\circ$ 满足交换律，则为交换环
- 若存在单位元，则为含幺环
域：$<F:+,\circ>$ 为至少含两个元的交换环，且 $<F\backslash\lbrace0\rbrace:\times>$（关于乘法运算）为交换群
- 任何数域都包含 $Q$，即 $Q$ 是最小的数域
U2
2.1
线性空间：$V$ 为非空集，$F$ 为一个域，$V(F)$ 满足：
- $<V:+>$ 是一个交换群
- $\alpha,\beta\in V$，数乘满足如下四条：（1，结合律，内外分配率）
- $1\alpha=\alpha$
- $\lambda(\mu\alpha)=(\lambda\mu)\alpha$
- $(\lambda+\mu)\alpha=\lambda\alpha+\mu\alpha$
- $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$
- 注意运算封闭
2.2
线性组合：$\alpha=\sum\lambda_i\alpha_i$ 为向量组 $\lbrace\alpha_1,…,\alpha_n\rbrace$ 在域 $F$ 上的线性组合（仅指代一个元素），或者说 $\alpha$ 可用向量组 $\lbrace\alpha_1,…,\alpha_n\rbrace$ 线性表示。
线性扩张：$L(S)=\lbrace\sum\lambda_i\alpha_i|\lambda_i\in F,\alpha_i\in S\rbrace$
- $L(S)$ 是包含 $S$ 的最小子空间。
2.7
内积空间：满足
- $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
- $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$
- $(\lambda\alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)$
- $(\alpha,\alpha)\geq0$，等号成立当且仅当 $\alpha=0$
则称 $(\alpha,\beta)$ 为两向量的内积，定义了内积的 $V(R)$ 称为实内积空间，有限维实内积空间称为欧氏空间。
- 如果在复空间 $V(C)$ 上定义，则需要把第一个条件改为 $(\alpha,\beta)=\overline{(\beta,\alpha)}$。复内积空间通常称为酉空间。
标准内积：$(\alpha,\beta)=\sum a_ib_i$
$R[x]_n$ 空间中，多项式内积常用积分定义：$(f(x),g(x))=\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x$
2.8
单位正交基 / 标准正交基：$B=\lbrace\varepsilon_1,…,\varepsilon_n\rbrace$ 满足
$$
(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=
\begin{cases}
1 & i=j \\
0 & i\not=j
\end{cases}
$$
$Schmidt$ 正交化：设 $B=\lbrace\alpha_1,…,\alpha_n\rbrace$ 为 $V(R)$ 的一组基
基本思路：$\beta_m=\alpha_m+\lambda_{m-1,m}\beta_{m-1}+…+\lambda_{1,m}\beta_1$
$(\beta_m,\beta_k)=(\alpha_m,\beta_k)+\lambda_{km}(\beta_k,\beta_k)=0$ ※
$\Rightarrow\lambda_{k,m}=-\frac{(\alpha_m,\beta_k)}{(\beta_k,\beta_k)}$
即 $\beta_m=\alpha_m-\sum\frac{(\alpha_m,\beta_k)}{(\beta_k,\beta_k)}\beta_{k}$，最后 $\varepsilon_m=\frac{\beta_m}{|\beta_m|}$
2.9
空间正交：若 $V(R)$ 的两个子空间 $W_1,W_2$ 满足 $\forall\alpha\in W_1,\forall\beta\in W_2,(\alpha,\beta)=0$，则 $W_1\perp W_2$
- $W_2$ 为 $W_1$ 的正交补，即 $W_2=W_1^{\perp}$
U3
3.1
线性映射：$\sigma(\lambda\alpha+\mu\beta)=\lambda\sigma(\alpha)+\mu\sigma(\beta)$
- 到自身的线性映射也称为线性变换
3.2
像：$Im\sigma=\lbrace\beta|\beta=\sigma(\alpha),\alpha\in V_1\rbrace$
核：$Ker\sigma=\lbrace\alpha|\sigma(\alpha)=0_2,\alpha\in V_1\rbrace$
3.3
$L(V_1,V_2)$ 代表线性空间 $V_1$ 到 $V_2$ 的所有线性映射的集合，其也是一个线性空间。
3.4
$r(\sigma)=\dim\sigma(V_1)$
若 $\dim(V_1)=n$，则 $r(\sigma)+\dim(Ker\sigma)=n$
若 $\sigma\in L(V_1,V_2),V_1,V_2$ 都是 $n$ 维线性空间，则下列命题等价：
- $r(\sigma)=n$，即满秩
- $\sigma$ 是单射
- $\sigma$ 是满射
- $\sigma$ 是可逆线性映射
3.5
同构：如果线性空间 $V_1(F)$ 到 $V_2(F)$ 存在一个线性的双射 $\sigma$，则两者同构，记作 $V_1(F)\cong V_2(F)$
U4
4.1
矩阵集合记为 $M_{m\times n}(F)$ 或 $F^{m\times n}$（元素在域 $F$ 上）
- $m=n$ 时，称为方阵或 $n$ 阶矩阵，集合可记为 $M_n(F)$ 或 $F^n$
4.5
如果 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列命题等价：
- $A$ 可逆
- 存在 $B$ 使得 $BA=E$
- $r(A)=n$，即 $A=(\alpha_1,…,\alpha_n)$，各 $\alpha$ 线性无关
- $AX=0 \rightarrow X=0$
- $\alpha_1,…,\alpha_n$ 是 $F^n$ 的基
推论：$AB$可逆 $\Leftrightarrow A$ 与 $B$ 都可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4.7
$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A=P_1…P_n$ 初等矩阵乘积
4.8
若 $r(A_{m\times n})=k$，则存在可逆矩阵 $P,Q$，满足：
$$
PAQ=
\begin{pmatrix}
E_k & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
=(e_1,…,e_k,0,…)=U_k
$$
若 $A$ 可以通过初等变换转化为 $B$，则称 $A$ 相抵与 $B$（或者说 $A$ 等价于 $B$），记作 $A\cong B$
$U_k$ 是 $A$ 的相抵标准型 / 等价标准型。
拆解 $P,Q$ 后得到由初等矩阵乘积组成 $U_k=P_1…P_nAQ_1…Q_m$
$A\in M_n(F)$，则下列命题等价：
- $A$ 可逆
- $r(A)=n$
- 齐次线性方程组 $AX=0$ 只有零解
$r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
$r(AB)\leq \min(r(A),r(B))$
$r
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{pmatrix}
=r(A)+r(B)$
若 $P,Q$ 分别为 $m,n$ 阶可逆矩阵，$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则
$$r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)$$
4.9
$$
A^T=
\begin{pmatrix}
A^T_{11} & A^T_{21} \\
A^T_{12} & A^T_{22}
\end{pmatrix}
$$
$$
A=
\begin{pmatrix}
B & O \\
C & D
\end{pmatrix}
$$
则
$$
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
B^{-1} & O \\
-D^{-1}CB^{-1} & D^{-1}
\end{pmatrix}
$$
而一般的
$$
A=
\begin{pmatrix}
B & F \\
C & D
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
B & O \\
C & D-CB^{-1}F
\end{pmatrix}
$$
4.10
过渡矩阵
U5
5.1
$n$ 阶行列式可以视作 $F^n\times…\times F^n$ 到 $F$ 的一个映射，记作 $\det A=D(\alpha_1,…,\alpha_n)$，其中 $\alpha_i$ 代表列向量。
运算法则：
- $D(…,\lambda\alpha_i,…)=\lambda D(…,\alpha_i,…)$
- $D(…,\alpha_i+\beta_i,…)=D(…,\alpha_i,…)+D(…,\beta_i,…)$
- $D(…,\alpha_i,…,\alpha_j,…)=-D(…,\alpha_j,…,\alpha_i,…)$
- $D(e_1,…,e_n)=1$，即
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & … & 0 \\
0 & 1 & … & 0 \\
… & & & … \\
0 & 0 & … & 1
\end{vmatrix}
=1
$$
延伸：
- $D(…,0,…)=0$
- $D(…,a_i,…)=D(…,a_i+\lambda a_j,…)$
- 上（下）三角行列式等于对角线元素乘积
- $\lbrace\alpha_1,…,\alpha_n\rbrace$ 线性相关则 $D(\alpha_i)=0$
三种初等矩阵及其行列式：
- $E_i(c)=(…,c\times e_i,…),|E_i(c)|=c$
- $E_{ij}=(…,e_j,…,e_i,…),|E_{ij}|=-1$
- $E_{ij}(c)=(…,e_i+c\times e_j,…),|E_{ij}(c)|=1$
若 $P_i$ 为初等矩阵：$|AP_1…P_n|=|A||P_1|…|P_n|$
- 由此可得 $|A^T|=|A|$
5.2
余子式：去掉 $a_{ij}$ 所在行列得到的 $n-1$ 阶行列式，称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$
- $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式
$D=\sum a_{ix}A_{ix}=\sum a_{xi}A_{xi},x\in[1,n]$
5.3
伴随矩阵：（注意行列互换）
$A^*=
\begin{pmatrix}
A_{11} & … & A_{n1} \\
… & … & … \\
A_{1n} & … & A_{nn}
\end{pmatrix}
$
定理：$A^A=AA^=|A|E=|A|^n$
推论：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
$r(A^*)=
\begin{cases}
n&|A|\not=0\\
1&r(A)=n-1\\
0&r(A)<n-1
\end{cases}$
$A$ 可逆：$(\frac{1}{|A|}A)A^*=E$
$A$ 不可逆：$r(A^A)=0\geq r(A^)+r(A)-n$
$A$ 在整数范围内可逆 $\Leftrightarrow |A|=\pm1$
- $|A||A^{-1}|=|E|=1$，整数范围行列式一定是整数
5.4
$Cramer$ 法则：$AX=b$ 的唯一解为 $x_j=\frac{D_j}{|A|}$，其中
$$D_j=|\alpha_1,…,\alpha_{j-1},b,…|$$
范德蒙德（$Vandermonde$）行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & … \\
\vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & …
\end{vmatrix}
=\Pi_{i>j}(x_i-x_j)
$$
- 缺行用扩充法
U6
6.1
$A\in M_n(F),N(A)$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间，$r(A)+r(N(A))=n$
- 证明比较 $r$ 可以利用其转化为解空间 $N$ 的关系
解空间的基 $X_1,…,X_k$ 称为基础解系，通过 $A$ 的行变换易得
6.2
$AX=b$ 有解判别法：
- $r(A)=r(A,b)$，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
- $b=\sum x_i\alpha_i$，从而 $\dim L(\alpha_i)=\dim L(\alpha_i,b)$
- 唯一解 $\Leftrightarrow r(A)=r(A,b)=$ 未知数的个数
定理：
$x_1,x_2$ 为解，则 $x_1-x_2$ 为解
$x_0$ 为解，则所有解为 $x_0+N(A)$
U7
7.1
正交变换：$(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$
- 等价条件：$|\sigma(\alpha)|=|\alpha|$
正交矩阵：$A^TA=AA^T=E$
$A^T=A^{-1}$
$|A|=\pm1$
Q-R 分解：可逆实矩阵 $A=QR$，其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是主对角元素为正数的上三角矩阵
Hadamard 不等式：$|\det A|\leq\Pi|\alpha_i|$
7.2
二次曲线的不变量：
$I_1=a_{11}+a_{22}$
$I_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$
$I_3=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\end{vmatrix}$
可以用其判断二次曲线类型：
椭圆 / 双曲线最简形：$b_{11}y_1^2+b_{22}y_2^2=0$
抛物线最简形：$b_{11}y_1^2+b_1y_1=0$
7.3
矩阵相似：存在 $C^{-1}AC=B$，则称二者相似
$C^{-1}A^{-1}C=B^{-1}$
$P^{-1}A^mP=B^m$
$P^{-1}f(A)P=f(B)$
7.4
特征值：存在 $\lambda_0$（特征值）和 $X$（特征向量）满足 $AX=\lambda X$
定理：特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+…+b_k\lambda^{n-k}$，其中 $b_k$ 为全体 $k$ 阶主子式之和。
$\sum\lambda_i\sum a_{ii}$
$\Pi\lambda_i=|A|$
若矩阵相似，则特征值相同（逆命题不成立）
不同特征值的特征子空间间不重合
7.5
特征值重数大于等于其特征子空间的维数
可对角化的充要条件：↑重数等于维数，且重数和等于 $n$
求对角化的变换矩阵：$P=(X_{11}…,X_{1i},…,X_{mi},…)$，即所有特征子空间的基的组合
约当块矩阵：$J=\begin{pmatrix}J_1\\&J_2\\&&…&\end{pmatrix}$，其中 $J_i=\begin{pmatrix}\lambda_1&1\\&\lambda_i&1\\&&…&\end{pmatrix}$
- 其不与对角阵相似
7.7
矩阵相合：$C^TAC=B$
7.8
对于任意一个 $n$ 元二次型 $X^TAX$，都存在正交变换 $X=QY$，使得：
- $X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y=\sum\lambda_i y_i^2$
求标准型变化矩阵：
列出二次型对应矩阵
正交矩阵为基的组合
求标准型：
- 初等变换法
- 配方法 P258 例3
相合标准型 -> 相合规范性 -> 正负惯性指数
定理：$A$ 为实对称矩阵，$A,B$ 在实数范围内相合 充要条件为惯性指数相同
7.9
正定二次型：$f(x)=X^TAX(A^T=A)$ 如果满足 $f(x)\geq 0$，且仅 $f(0)=0$
- 若仅 $f(x)\geq 0$，则为半正定二次型
- （半）负定二次型定义同理
- 有正有负则为不定
Gram正定矩阵 $A=(\alpha,\alpha)$
对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，下列命题等价：
- $X^TAX$ 为正定二次型（即 $A$ 是正定矩阵）
- $A$ 的正惯性指数为 $n$
- 存在 $A=P^TP,|P|\not=0$
- $A$ 的 $n$ 个特征值都大于零
顺序主子式
定理：$A$ 正定 等价于 所有顺序主子式大于零
‘
‘
Terminology
$R[x]_n$ 通常表示 $0$ 到 $n-1$ 次的集合
笛卡尔积：$A\times B=\lbrace(a,b)|a\in A,b\in B\rbrace$
(4.9)
分块成对角形矩阵：
$$
C=diag(C_1,…,C_n)=
\begin{pmatrix}
C_1 & 0 & … & … & 0\\
0 & C_2 & … \\
0 & 0 & … \\
… & & & C_{n-1} \\
0 & 0 & … & … & C_n
\end{pmatrix}
$$
（5.2）
“对于相抵关系构成的等价类最简单的代表元为 $U_r$，于是集合 $M_{m\times n}(F)$ 关于 $\cong$ 的商集为：$\lbrace\overline{O},\overline{U_1},…,\overline{U_k},\rbrace$，其中 $k=min(m,n)$，$O$ 为零矩阵”
$\overline{U_k}$ 代表秩为 $k$ 的矩阵的等价类
商集是根据等价关系划分出的不相关的若干等价类的集合