数分笔记
U1
数集的稠密性
三角形不等式：$|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$
确界原理：非空有界则有确界
- 推广：任意非空数集必有（正常或不正常的）上下界
U2
极限 eps-N 的定义
无穷小数列：$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$（无穷大同理）
收敛数列 / 函数极限的性质：
- （极限）唯一性
- 有界性
- 保号性
- 保不等式性
- 迫敛性
单调有界定理：单调有界即有极限
致密性定理：任何有界数列都有收敛子列
柯西收敛准则：数列极限存在 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists N$，使得 $n,m\geq N$ 时，有 $|a_m-a_n|\leq\varepsilon$
U3
归结原则：设 $f$ 在 $U^o(x_0,\delta)$ 上有定义，则 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在的充要条件是任何含于 $U^o(x_o,\delta)$ 且以 $x_0$ 为极限的数列 ${x_n}$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)$ 都存在且相等。即：
$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall x_n\to x_0(n\to\infty),\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$$
- 如果可以找到一个子列极限不存在，或者找到两个子列极限存在但不等，即可证明极限不存在。
柯西准则：对于 $x\in U^o(x_0,\delta_0), \lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists\delta(<\delta_0)$，使得 $\forall x’,x’’\in U^o$，有 $|f(x’)-f(x’’)|<\varepsilon$
$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$
$FT$：求 $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})^n$
- 原式 $=(1+\frac{n-1}{n^2})^{\frac{n^2}{n-1}-\frac{n}{n-1}}\geq(1+\frac{n-1}{n^2})^{\frac{n^2}{n-1}-2}$ 确定下界
高阶无穷小量：$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则 $f$ 为 $g$ 的高阶无穷小量，记作 $f(x)=o(g(x))$
- 无穷小量：$f(x)=o(1)$
同阶无穷小量：$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c\not=0$
若 $\lim\limits_{x\to x_0}|\frac{f(x)}{g(x)}|\leq L$，则记 $f(x)=O(g(x))$
- 若 $f(x)$ 在邻域有界，记 $f(x)=O(1)$
等价无穷小量：$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，记 $f(x)\sim g(x)$
- $\arctan x\sim x,1-\cos x\sim x^2$
U4
函数连续的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
- 其等价于 $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$（区分一致连续）
- 也可以表示为 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(\lim\limits_{x\to x_0}x)$
- $\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim\limits_{x\to x_0}f(x))=g(f(x_0))$
连续函数闭区间有最值
第一类间断点（两侧极限存在）
- 可去间断点（两侧相等，但函数值不存在或不等）
- 跳跃间断点（两侧极限不等）
第二类间断点（有一侧极限不存在）
- 无穷间断点
- 震荡间断点
一致连续：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，使得对于 $\forall x’,x’’\in I$，只要 $|x’-x’’|<\delta$，则有 $|f(x’)-f(x’’)|<\varepsilon$ 成立
- 一致连续定理：闭区间连续，则一致连续
U5
$f’(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
- 可导 $\Rightarrow$ 连续
- $f’(x)$ 也可写作 $y’|{x=x_0}$ 或 $\frac{dy}{dx}|{x=x_0}$
函数连续且严格单调，则反函数连续。
反函数的导数：设 $y=f(x)$ 为 $x=\varphi(y)$ 的反函数，若 $\varphi$ 在 $y_0$ 满足连续，严格单调且 $\varphi(y_0)\not=0$，则 $f=\varphi^{-1}$ 在 $x_0=\varphi(y_0)$ 可导，且 $f’(x)=\frac{1}{\varphi’(y)}$
- $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}$
莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum C_{n}^{k}u^kv^{n-k}$
5.5
可微：$\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$，且存在 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
- $A\Delta x$ 称为微分，可记作 $dy|_{x=x_0}$
U6
6.1
极大 / 小值点根据邻域内最大 / 小定义
费马定理：若函数极值点可导，则导数为 $0$
罗尔（中值）定理：
$$
\begin{cases}
f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续} \\
f(x) \text{ 在 } (a,b) \text{ 上可导} \\
f(a) = f(b)
\end{cases}
\Rightarrow \exists \xi \in (a,b), f’(\xi) = 0
$$
分析：
易知函数在区间内有最值
若 $M = m$，则为常函数
若 $M \not= m$，由于 $f(a) = f(b)$，端点最多只能取 $M$ 或 $m$ 之一，则开区间内一定存在最值点
若函数不全可导，$f(x) = |x|$ 即为反例
拉格朗日中值定理：
$$
\begin{cases}
f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续} \\
f(x) \text{ 在 } (a,b) \text{ 上可导}
\end{cases}
\Rightarrow \exists \xi \in (a,b), f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$
分析：
令 $g(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a),\space F(x) = f(x) - g(x)$
罗尔定理对于 $F(x)$ 适用，使得 $F’(\xi) = 0$，即 $f’(\xi) = g’(\xi)$ 得证
$f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 为拉格朗日公式，有以下等价形式：
$f(b) - f(a) = f’(\xi)(b - a)$
$f(b) - f(a) = f’(a + \theta(b - a))(b - a),\space \theta \in (0,1)$
1 | ---T1.insert() |
导数极限定理：函数在 $U(x_0,\delta_0)$ 连续，$U^o(x_0,\delta_0)$ 可导，且 $\lim\limits_{x\to x_0}f’(x)$ 存在，则极限为 $f’(x_0)$。
分析：（证明 $f_+’ = f_-‘ = f’$）
$f_+’ = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$，对 $[x_0,x]$ 运用 $L-$中值定理使其 $=f’(\xi_x)$
$x \to x_0，\xi_x \to x_0$，所以极限得证
- 解释：复合函数求极限 / 定义证明
1 | ---T2.insert() |
定理：函数在区间可导，则
区间单增 $\iff f’(x)\geq 0$
区间严格单增 $\iff (1)f’(x)\geq0 \space\space\space (2)$ 任何子区间中 $f’(x) \not\equiv 0$（后者正推反证则为常函数，不成立）
- 反推：前者知单增，后者反证不严格单增不成立
following tests
$T1.$ 证明对于 $x>-1$ 且 $x\not=0,\space \frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$。分析：
令 $f(x) = lnx$
运用中值定理得到 $f(1+x) - f(1) = f’(1 + \theta x) * x$
注意到 $f’(x) = \frac{1}{x}$，则 $ln(1 + x) - ln1 = \frac{x}{1+\theta x}$，结合 $\theta \in (0,1)$ 得证。
$T2.$ 求分段函数的导数：
$$
f(x) = \begin{cases}
x + sin(x^2) & x \leq 0 \\
ln(1 + x) & x > 0
\end{cases}
$$
达布定理（导函数介值定理）：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f_+’(a)\not=f_-‘(b)$，对于 $\forall k\in(f_+^{‘}(a),f_-^{‘}(b)),\exists\xi\in(a,b),f’(\xi)=k$
令 $F(x)=f(x)-\lambda x$，则 $F_+^{‘}(a)F_-^{‘}(b)<0$，不妨令 $F_+^{‘}(a)>0$（上凸）
从而 $\exists\delta\in(0,\frac{b-a}{2})$，使得 $x’\in(a,a+\delta),F(x’)>F(a),x’’\in(b-\delta,b),F(x’’)>F(b)$
结合 $F(x)$ 连续知开区间内存在最大值点，再结合 费马定理 知 $F’(x)=0$。得证。
$FT$：证 $|\arctan x-\arctan y|\leq|x-y|$
令 $f(x)=\arctan x$，则 $f’(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$x\not=y$ 时，由 L-中值定理，$\exist\xi\in(x,y),\arctan x-\arctan y=f’(\xi)(x-y)$
$FT2$：证明
$$
\arctan\frac{1+x}{1-x} - \arctan x=
\begin{cases}
\frac{\pi}{4} & x<1 \\
-\frac{3}{4}\pi & x>1
\end{cases}
$$
6.2
柯西中值定理：（曲线参数方程上 L-中值定理的推广）
若 $f，g$ 满足
- 闭区间连续
- 开区间可导
- 导函数不同时取 $0$
- $g(a)\not=g(b)$
则 $\exists\xi\in(a,b),\frac{f’(\xi)}{g(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$
- 辅助函数罗尔定理证明
例一略
例二：导函数有界->一致连续（充分）
- limf(x)/x^(-1/2)=A
- 2(\sqrtx)’=x^(-1/2)
- \exists \xi\in(0,1),|lim式|\leq|A|+1
- g(x)=2\sqrtx,取x1,x2<\xi，针对x1x2和fg柯西中值定理
艹写不下去了（图×3|f(x)|
一致连续与柯西中值定理的联系……
洛必达法则~~~证明
- 若都趋近于0，由于极限值与该点函数值无关，不妨令f(a)=g(a)=0
- 验证a到a+\delta_0条件成立，运用柯西中值定理
- 取该小区间内的x,K-Z式=f(x)/g(x)
写不下去的证明图x3
- 取该小区间内的x,K-Z式=f(x)/g(x)
FT：已知 $\lim\limits_{x\to 0^{+}} xlnx=0$，求：
$\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^x$
$\ln^x \frac{1}{x}$
$sinx^{tanx},x\to\frac{\pi}{2}$
$\frac{\sqrt x}{1-e^{\sqrt x}},\to 0^+$
FT2：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+\cos x}{x}$
- 洛必达求出极限不存在，不代表原式极限不存在
FT3：设 $x=0,f(x)=0$而 $x\not=0,f(x)=g(x)/x$，且已知 $g(0)=g’(0)=0,g’’(0)=3$，求 $f’(0)$
$f’(0) = \frac{f(x) - f(0)}{x}=g(x)/x^2=g’(x)/2x=?g’’(x)/2$ ？？？
- 二阶导存在，可以推出g在邻域可导，且g’连续，但不能得到g’’在邻域存在
应该是 $g’(x)/2x = 1/2 \frac{g’(x) - g’(0)}{x} = 1/2g’(0) = 3/2$
FT3：求极限 $(1+1/n+1/n^2)^n,\to\infty$
取ln，令t=1/x
利用归结原则……
泰勒(Taylor)多项式：$T_n(x) = f(x_0)+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$
- 佩亚诺余项：$o((x-x_0)^n)=f(x)-T_n(x)$
注 $1$：已知 $P_n(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，满足 $f(x)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)$，但 $P_n$ 不一定是 $f$ 的 $n$ 次泰勒多项式，例如：
$f(x)=x^{n+1}D(x)$，只有 $f’(0)=0$ 一处导数存在，无法构造出高于一次的 $T_n$。
但又有 $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0} xD(x)=0$，即 $f(x)=o(x^n)$，只需要取 $P_n(x)=0 +0\times…$ 即可满足伪式。
麦克劳林公式：$f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2+…o(x^n)$
泰勒定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有 $n$ 次连续导函数，在 $(a,b)$ 中存在 $n+1$ 阶导数，则对于 $\forall x,x_0\in[a,b]$，存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(x)=T_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
拉格朗日余项：
$$R_n(x)=f(x)-$$
第三充分条件不必要
$\lim e^{-1/x^2}P_n(1/x)$ 问题
6.5
（下）凸函数：$\forall x_1\not=x_2,\lambda\in(0,1),f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
充要条件：$\forall x_1<x_2<x_3,\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
- 证明：QwQ
下面三命题等价：
$f(x)$ 为凸函数
$f’(x)$ 为增函数
$\forall x_1,x_2,f(x_2)\geq f(x_1)+f’(x_1)(x_2-x_1)$
$1/p+1/q=1$ 为正数，$ab\leq1/p\times a^p+1/q\times b^q$
- $ln()\geq lna+lnb=1/p\times lna^p+1/q\times lnb^q$
jensen不等式：$\sum\lambda=1,f(\sum\lambda x)\leq\sum\lambda f(x)$
U7
7.1
（闭）区间套：${[a_n,b_n]}$ 满足
- $[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$
- $\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$
区间套定理：存在唯一 $\xi$ 满足 $a_n\leq\xi\leq b_n$
- $\forall \varepsilon>0,\exists N$ 使得 $n>N,[a,b]\subset U(\xi,\varepsilon)$
聚点：无论是否属于点集 $S$ 的定点 $\xi$，若其任意邻域都含有 $S$ 中的无穷个点，则称 $\xi$ 为点集 $S$ 的一个聚点。
等价命题：
- $\forall\varepsilon>0,U^o(\xi,\varepsilon)\cup S\not=\emptyset$
- 存在各项互异的收敛数列 ${x_n}\subset S$，使得 $\lim x_n=\xi$
聚点定理：任何一个有界无限点集至少有一个聚点
无限（有限）开覆盖：$H$ 是无限（有限）个开区间的集合，若 $S$ 中任意元素都包含在 $H$ 的某一区间内，则称 $H$ 为 $S$ 的无限（有限）开覆盖
确界-单调有界-区间套-有限覆盖-聚点-致密性-柯西收敛准则-确界
（承认阿基米德性质的前提下）
U8
8.1
不定积分：原函数的集合，记作 $\int f(x)dx$
- $\int f(x)dx=F(x)+C$
若 $f$ 在区间 $I$ 连续，则存在原函数（U9）
第一类间断点没有原函数，第二类可以有
$\int \sec x\tan x dx=\sec x+C$
$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C=-arccot x + C$
8.2
第一换元积分法：复合函数
- $\int g’(f(x))f’(x)dx=\int g’(f(x))df(x)=g(f(x))+C$
$FT:\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\frac{du}{1+u^2}$
第二换元积分法：$\int f’(g(x))g’(x)dx=\int h(x)dx=H(x)+C$ 存在，则 $\int f(x)dx=H(g^{-1}(x))+C$
分部积分法
T:$\int\sqrt{x^2+a^2}dx$ 或者减
$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}$
- 直求与递推
8.3
有理函数的不定积分：
$R(u(x),v(x))$：由 $u(x),v(x)$ 和常数经过有限次四则运算得到的函数，称为 $u(x),v(x)$ 的有理式
- 对于 $\int R(\sin x,\cos x)dx$，常令 $t=\tan\frac{x}{2}$，转化为关于 $t$ 的有理式。
一般的，对于 $\int\frac{\alpha f(x)+\beta g(x)}{\lambda f(x)+\mu g(x)}$，且 $f,g$ 求导后互换，可将分子化为分母与分母导数的线性组合（如 $\sin,\cos$）
无理根式的不定积分：
对于 $R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})$，其中 $ad-bc\not=0$，令 $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
对于 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$，令 $u=x+\frac{b}{2a},k^2=|\frac{4ac-b^2}{4a}|$，则 $\sqrt{ax^2+bx+c}$ 一定属于如下之一：
- $|a|(u^2+k^2)$：令 $u=k\tan t$
- $|a|(u^2-k^2)$：令 $u=k\sec t$
- $|a|(k^2-u^2)$：令 $u=k\sin t$
- 也可以令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\times x+t$
U9
9.1
积分和 / 黎曼和：$\sum f(\xi_i)\Delta x_i$
若 $||T||<\delta$，有 $|\sum f(\xi_i)\Delta x_i-J|<\varepsilon$，则称可积 / 黎曼可积，其中 $J$ 为定积分 / 黎曼积分。记作 $J=\int^b_af(x)dx=\lim\limits_{||T||\to0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$
9.2
（牛顿-莱布尼茨）N-L ii公式：$\int_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\big|^b_a$
9.3
令 $M_i=\sup\limits_{x\in\Delta x_i} f(x),m_i=\inf\limits_{x\in\Delta x_i}f(x)$
达布上和：$U(T,f)=\sum M_i\Delta x_i$，简记为 $U(T)$
达布下和：$L(T,f)=\sum m_i\Delta x_i$，简记为 $L(T)$
- $U(T)=\sup$ 黎曼和，$L(T)=\inf$ 黎曼和
可积的第一充要条件：$\inf U(T)=\sup L(T)$
- 第二：$\forall\varepsilon>0,\exist U(T)-L(T)<\varepsilon$
函数闭区间连续则可积
- 连续 -> 一致连续 -> 振幅满足
闭区间单调则可积
闭区间有界，且只有有限个间断点则可积
- 设 $f$ 的间断点为 $p_i\in[u_i,v_i],v_i-u_i<\frac{\varepsilon}{k}$
- 记 $a=v_0,b=u_{k+1}$，则 $f$ 在 $[v_i,u_{i+1}]$ （一致）连续
- 据此做分割 $T$：
- $(u_i,v_i)\cap T=\empty$
- 若 $x_{i-1}\not\in{u_i}$，则 $x_i-x_{i-1}<\delta$
- 则 $\sum \omega_i\Delta x_i\leq\varepsilon(b-a)+2M^*k\times{\varepsilon}{k}$
T. 证明黎曼函数 $[0,1]$ 可积
微积分基本定理：若 $f$ 在闭区间可积，且 $F’(x)=f(x)$，则 $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\big|_a^b$
- 定义：黎曼和 $-J<\varepsilon$
- L-中值定理：$F(x_i)-F(x_{i-1})=f(\xi_i)\Delta x_i$
- $F(b)-F(a)=\sum F(x_i)-F(x_{i-1})$
注1：条件可降级为 $F$ 闭区间连续，$F’(x)=f(x)$
注2：可进一步降低为 $F$ 闭区间连续，除去有限个点之外都有 $F’(x)=f(x)$
- 分割时把坏点放到分割点里去，运用 L-
T. $J=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+…+\frac{1}{2n}$
- $\frac{1}{n+i}=\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\times\frac{1}{n}$
- 该式是 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 在 $[0,1]$ 上的一个积分和
- 原式 $=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx$
闭区间：可积与存在原函数无关
9.4
定积分的线性性：$\int k_1f(x)+k_2g(x)=k_1\int f(x)+k_2\int g(x)$
若 $f,g$ 可积，则 $f\cdot g$ 也可积
- $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|$
- $\leq|f(x)g(x)-f(x)g(y)|+|f(x)g(y)-f(y)g(y)|$
- $\leq M_f|g(x)-g(y)|+M_g|f(x)-f(y)|$
- $\leq M(\omega_f+\omega_g)$
- 即 $\omega_{fg}\leq M(\omega_f+\omega_g)$
一些误区：
- $\int f(x)g(x)dx\not=\int f(x)dx\times \int g(x)dx$
- $f$ 可积，$\frac{1}{f}$ 不一定可积
积分区间可加性：$\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$
- 将 $b$ 设为介点
积分第一中值定理：$\exists\xi\in[a,b],\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$
- 可 $\xi\in(a,b)$
推广：若 $g$ 不变号，则有 $\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx$
9.5
变上限积分：$\phi(x)=\int_a^xf(t)dt,x\in(a,b]$
变下限积分：$\int_x^bf(t)dt,x\in[a,b)$
- 性质：若 $f$ 在 $[a,b]$ 可积，则 $\phi$ 在 $[a,b]$ 上连续
原函数存在定理：$f$ 在 $[a,b]$ 连续，则 $\phi(x)=\int_a^xf(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $\phi’(x)=f(x)$
下证 $\lim\frac{\Delta\phi}{\Delta x}=f(x)$
用积分第一中值定理即可
FT：$F(x)=\int_0^{x^2}f(t)dt$
- 令 $G(x)=\int_0^xf(t)dt$，则 $F’(x)=(G(x^2))’$
FT2：$F(x)=\int_a^xf(t)(x-t)dt$，证明 $F’’(x)=f(x)$
- $F’(x)=x\int f(t)dt-\int tf(t)dt$
- $F’’(x)=\dots$
换元积分法：$\int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)}f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi’(t)dt$
FT：$\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$
- 令 $x=\tan t,\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan t)$
- $=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(\frac{\sqrt2\cos(t-\frac{\pi}{4})}{\cos t})dt$ 拆分
FT2：$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^2x}{\sin x+\cos x}dx$
令 $x=\frac{\pi}{2}-t,=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos^2x}{\sin x+\cos x}dx$
于是原式 $=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x=\sqrt2\cos(x-\frac{\pi}{4})}dx$
FT3：$\int_0^1tf(2x-t)dt=\frac{1}{2}\arctan(x^2),f(1)=1$，求 $\int_1^2f(t)dt$
- 令 $u=2x-t$，左式 $=\int_{2x-1}^{2x}(2x-u)f(u)du$
- 等式两边求导，利用 $F=\int_{a(x)}^{b(x)} f(u)du$，则 $F’=f’(b(x))b’(x)-a\dots$
分部积分法：$\int_a^bu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bu’(x)v(x)dx$
- 也可作 $-\int_a^bv(x)du(x)$
FT：求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$
- 拆成 $\sin x$ 与 $\sin^{n-1}x$
- $J_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac{\pi}{2},J_{2m+1}=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$
- 注意到 $J_{2m+1}<J_{2m}<J_{2m-1}$，进一步推导……
泰勒多项式的积分形式：
$f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf’(t)dt$
- $=f(x_0)-\int_{x_0}^xf’(t)d(x-t)$
- $=f(x_0)-(x-t)f’(t)\big|{x_0}^x+\int{x_0}^x(x-t)f’’(t)dt$
- $=f(x_0)+(x-x_0)f’(x_0)-\frac{1}{2}\int_{x_0}^xf’’(t)d((x-t)^2)$
- $=T_n(x)+\frac{1}{n!}\int_{x_0}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt$ 即泰勒多项式的积分型余项
积分第二中值定理：$f$ 可积， $g$ 单调，则存在
$\int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^bf(x)dx$
- 利用积分第一中值定理
引理：$f$ 可积，$g$ 单减且非负，则存在 $\int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx$（单增则 $g(b)\int_\xi^bf(x)dx$）
9.6
证明无界不可积：取？
U10
10.1
对于 $x=x(t),y=y(t)$，其中 $x(t)$ 连续，$x’(t)\not=0$（导函数的介值性：恒大于 / 小于 $0$），$y(t)$ 连续可微（导函数连续）
- 近似面积为 $\sum y(\xi_i)(x(t_i)-x(t_{i-1}))$
- $=\sum y(\xi_i)x’(\lambda_i)\Delta t_i=\sum y(\xi_i)x’(\xi_i)\Delta t_i$
- 需证 $|\sum y(\xi_i)(x’(\lambda_i)-x’(\xi_i))\Delta t_i|\rightarrow 0$
- 解释：$\lambda$ 是定值，黎曼和的形式要求为 $\xi$ 任意值。
- $=\int y(t)x’(t)dt$
对于封闭的参数方程，即 $x(\alpha)=x(\beta),y(\alpha)=y(\beta)$，将其分为上（下）半部分和分隔点 $\gamma$，要求：
$[\alpha,\gamma]$ 的上半部分，$y(t)$ 连续，$x(t)$ 连续可微，$x’(t)>0$
$[\gamma,\beta]$ 的下半部分，$y(t)$ 连续，$x(t)$ 连续可微，$x’(t)<0$
$C_1$ 在 $C_2$ 上方
计算略，最终 $S=|\int y(t)x’(t)dt|$
FT：求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的面积
- 参数方程为 $x=a\cos t,y=b\sin t$
对于极坐标系：$\rho=\rho(\theta)$
- 小曲边扇形面积约等于 $\frac{1}{2}\rho^2(\xi_i)\Delta\theta_i$
- $S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta\rho^2(\theta)\text{d}\theta$
求平面曲线的弧长
定理：若有参数方程满足 $x(t),y(t)$ 连续可微，则 $C$ 是可求长的。
用折线段长度刻画：$l_T=\sum\sqrt{\dots}$，则需 $\lim\limits_{||T||\to0}l_T$ 存在。
- $l_T=\sum\sqrt{(x’(\tau_i)\Delta t_i)^2+(y’(\xi_i)\Delta t_i)^2}$
- $\to\int_\alpha^\beta\sqrt{(x’(t))^2+(y’(t))^2}\text{d}t$
光滑曲线：$x,y$ 连续可微，任意点 $(x’(t))^2+(y’(t))^2\not=0$
通式：
- 普通函数：$\int\sqrt{1+(f’(x))^2}dx$
- 极坐标方程：$\int\sqrt{(\rho’(\theta))^2+(\rho(\theta))^2}$
10.2
旋转体的体积：$\pi\int_a^b f^2(x)dx$
参数方程：$\int y(t)dx=\int y(t)x’(t)dt$
极坐标方程：$$
10.3
曲率：$\lim|\frac{\Delta\phi}{\Delta s}|=\frac{\text{d}\phi}{\text{d}s}$，即切线角增量比弧长增量
$s(u)=\int_a^b \sqrt{(x’(u))^2+(y’(u))^2}\text{d}u,s’(u)=\sqrt{\dots}$
$\tan\phi=\frac{y’(t)}{x’(t)}$
U11
11.1
反常积分：$\lim\limits_{u\to\infty}\int_a^uf(x)\text{d}x=\int_a^\infty f(x)\text{d}x$，极限存在与否决定发散或收敛。
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 取决于正负无穷，跟中间点的选取无关。
11.2
无穷积分收敛的柯西准则：$\int_a^\infty f(x)dx$ 收敛 $\Leftrightarrow |\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\varepsilon(\exist G>0,\forall u_1,u_2>G)$
线性性定理：$\int [k_1f(x)+k_2g(x)]dx$ 也收敛
- 不加绝对值可积 单向推出 加绝对值可积
绝对值不等式定理：若 $\forall f(x)$ 在 $[a,u]$ 可积，且绝对值可积，则不加绝对值可积
比较原则极限形式：$f,g$ 极限比为常数，若 $c$ 有限，则两极限称为同敛态
柯西判别法：
$f(x)\leq\frac{1}{x^p},p>1$
$\lim x^pf(x)=c$
狄利克雷判别法：
$g$ 单调趋近于 $0$
$\int f(x)dx$ 有界
阿贝尔判别法：
$f$ 无穷积分收敛
$g$ 单调有界
都可以用积分第二中值定理证明
瑕积分：‘
’0
莱布尼茨法则：
$$
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t,x)dx=f(v(x),x)\cdot v’(x)-f(u(x),x)\cdot u’(x)+\int_{u(x)}^{v(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)dt
$$
Universal
伯努利不等式：$(1+x)^n \geq 1+nx$
对于 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = x$，只有 函数连续 才有 $\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = f(\lim\limits_{n \to \infty} x_n) = f(x)$
遇根号想有理化
区间可导默认连续
常用积分：
- $\int \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x=-\arccos x + C$
- $\int\sec^3xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x| + C$
- $\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{x}{2a^2(x^2+a^2)}+\frac{\arctan x}{2a^3}+C$
- 积分常见三角换元：
- $a^2-x^2\rightarrow x=a\sin x$ 或 $x=a\cos x$
- $a^2+x^2\rightarrow x=a\tan x$
- $x^2-a^2\rightarrow x=a\sec x$
- 三角换元 $R(\sin x,\cos x)$
$t=\tan x,\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$，适用于无理相乘式简化幂次，可消去 $\int\frac{dx}{1+x^2}$。
$t=\tan\frac{x}{2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，适用于有理式
Terminologies
临界点：$f’(x) = 0$（广义上也可以不存在）
稳定点 / 不动点：$f(x) = 0$
$\sec x=1/\cos x$
$\csc x=1/\sin x$
$\cot x=1/\tan x$
跳阶乘：$(x)!! = x\times (x-2)\times\dots$
Tests
证明 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$
- 应用：证明 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 0$
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a，求证 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum_{1}^n a_i}{n} = a$ （柯西极限定理）
$\lim\limits_{x\to \infty} \sqrt[5]{x^5+15x^4+7x} - \sqrt[3]{x^3-3x^2+2}$
令 $t = 1/x$，则 $=\lim\limits_{t\to0}(\sqrt[5]{1+15t+t^4}-\sqrt[3]{1-3t+2t^3}) / t$
运用 $(1+x)^a - 1 = ax$ 近似，$x$ 分别为 $15t+t^4$ 与……
n\to\infty e=(1+1/n)^n
现在求(1+n)^(1/n)在n趋近无穷的极限：
其等价于n^(1/n)的极限，证明略
再求(1+n^2)^(1/n)的极限：
其大于n^(2/n)，小于(1+n)^2^(1/n)（即上式的平方）
证明(1+1/n)^(n^2)发散：
若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0,f(1)=1$，则 $\exists x_1,x_2\in(0,1)$ 且 $x_1<x_2$，使得 $\frac{1}{f’(x_1)}+\frac{1}{f’(x_2)}=2$
- 介值定理：$f(\xi)=\frac{1}{2}$
- L-中值定理：$x_1\in(0,\xi),x_2\in(\xi,1)$
- $\frac{1}{2}=f(\xi)-f(0)=f’(x_1)(\xi-0)$
- 同理
T or F
判断正误：$存在发散数列 $a_n$，使得对于任意正整数 $k\geq2$，都有 $a_{kn}$ 收敛（√）
- 例子：$a_n = (a_n \in prime) \space ? \space 0 : 1$
若 $a_1 = 2,a_{n+1}=3a_n - \frac{4}{a_n + 1}$，则有 $A = 3A - \frac{4}{A+1}$，解得 $A=1$ 或 $A=-2$（舍弃）（×）
- 数列发散
若 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且其反函数存在，则 $f^{-1}$ 在 $f(I)$ 上一致连续（×）
- $f(x) = \sqrt{x}$
若 $a_n$ 满足 $\lim\limits_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n) = 0$，则 $a_n$ 有界（×）
- $a_n = \sum\frac{1}{i}$ 调和级数发散
若 $a_n$ 满足 $\lim\limits_{n \to \infty} (2a_{n+1}-a_n) = 0$，则 $a_n$ 有界（√）
题干推出 $\lim a_n = 0$
原式推出 $|a_{n+1} - \frac{1}{2}a_n| < \frac{1}{2}\epsilon$
从而有 $|a_{n+1} - \frac{1}{2}a_n| + … + |\frac{1}{2^{n-N_1-1}}a_{N_1 + 1} - \frac{1}{2^{n-N_1}}a_{N_1}|<\epsilon$
取 $N_2$ 使得单项 $<\epsilon$，从而 $|a_n| \leq |a_n - | + … + $（拆分） $< \epsilon$
若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界，则 $f’(x)$ 也有界（x）
$f(x)=x^\alpha\sin\frac{1}{x} & 0$
- $\alpha>1,f’(0)=0$
- $\alpha\leq1,f’(0)$ 不存在
可取 $\alpha=\frac{3}{2}$ 为反例
$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(2h)-f(0)}{f(h)-f(0)}=2$（x）
- $f’(0)\not=0$ 成立
- $f’(0)=0$ 不一定成立，如 $f(x)=x^2$
若 $f’(0)>0$，则 $\exists\delta>0,f$ 在 $U(0,\delta)$ 单调递增（x）
- $f(x)=x+|x|^{\frac{3}{2}}\sin\frac{1}{x}& x$，任意小都波动
$f(x)=x^3D(x)$，满足 $f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x+o(x^2)$（x）
$f(x)$ 只在 $0$ 处可导，无二阶导